Vid härledningen av våghastighet på en sträng i Benson kap 16.3 används formeln för centripetalkraft, tillämpad på en punkt på snöret sedd från ett koordinatsystem som rör sig med samma hastighet som pulsen. Denna härledning ger vissa konceptuella problem, eftersom strängen bara har en rörelse vinkelrät på strängen. Men Benson är inte ensam om att härleda våghastigheten på det här sättet, och vad som är alldeles utmärkt är att han anger att förklaringen går tillbaka på P.G. Tait år 1883.
Tait gav sitt bevis i artikeln Mechanics i nionde utgåva av Encyclopædia Britannica, del XV sida 741. Först behandlar han i §264 det statiska problemet av en sträng som som är spänd över en krökt yta. Ytan måste ge en reaktionskraft för att hålla strängen i sin form, och överallt är denna kraft vinkelrät på ytan. Betrakta segmentet mellan A och B. Spänkraften T i A och B är tangentiell mot strängen, skillnaden i vinkel mellan dem är θ. Trycket på ytan per längdenhet av snöret är p. Kraften på segmentet är då
[latex size=”1″ color=”000000″ background=”ffffff”]p.\mathrm{AB} = 2T \sin \dfrac{\theta}{2} = T \theta.[/latex]
Sträckan AB kan betraktas som ett segment av en cirkel med radie r och längd rθ. Så får vi att överallt gäller att trycket är omvänt proportionellt mot krökningsradie: p = T/r.
I §265 introducerar Tait då ett inertialsystem i form av ett rör som är krökt i vilken form som helst och som rör sig med en hastighet v. Inuti röret finns en sträng med konstant spänkraft T. Tait visar att röret glider över strängen utan att strängen utöver någon kraft på rörets insida vid en viss hastighet. Spänningen ger rätt acceleration för strängen att slinka genom alla buktar. Inertialkraften är nämligen också omvänt proportionell mot krökningsradie och också riktad mot krökningens centrum. Trögheten är förstås dessutom proportionel mot massa per längdenhet rho och mot hastigheten i kvadrat. Resultatet är att
[latex size=”1″ color=”000000″ background=”ffffff”]v = \sqrt{\dfrac{T}{\varrho}}.[/latex]
Det roliga med det här beviset är att det gäller för valfri form. Tait noterar att det gäller för en knut. Så det är mer allmänt än det analytiska beviset som endast kan hantera funktioner. Inte till exempel någon puls som ser ut som bokstaven Ω (ingen funktion, eftersom det finns tre värden för utvikelse vid vissa positioner). Jag undrar om någon någonsin har demonstrerat utbredningen av så konstiga pulser på ett snöre…
PS: Jo, lariatkedjor! Det måste vara något liknande. Till exempel här.
Leave a Reply