Enhetscirkeln i komplexa planet och svängningar

23:01 by Pieter Kuiper

Simple harmonic motion
Bilden ovan av t4s innehåller en hel del geometriska detaljer, bland annat om derivatan av sinus och cosinus. Men det jag visade i föreläsningen med cykelhjulet var att enkel harmonisk rörelse kan beskrivas som projektionen av en cirkelrörelse.

Sedan berättade jag att man kan använda komplex analys för att beskriva svängningar och vågor. Om man tar cirkeln inte som ett fysiskt hjul utan som enhetscirkeln i det komplexa planet, kan man definiera en funktion av tid t

[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]f(t) = A e^{i \omega t + \phi},[/latex]

där ω är vinkelfrekvensen (radianer per sekund) och i är den imiginära enheten i ² = -1. Exponentialfunktionen av rent imaginära tal ligger på enhetscirkeln i det komplexa planet: e0 = 1 som i vanlig algebra. Vid en fasvinkel på 90° har vi eiπ/2 = i. Därefter kommer vid 180° Eulers relation:
Euler's identity scarification

Inget av detta är nödvändigt för tentan. Men om man kan komplex analys, blir formlerna kortare. Till exempel gäller samma formalism för derivatan av exponentialfunktionen som för reella tal:

[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]\dfrac{{\rm d}f(t)}{{\rm d}t} = i \omega A e^{i \omega t + \phi}[/latex]
\\
\\
\\
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]\dfrac{{\rm d^2}f(t)}{{\rm d}t^2} = i^2 \omega^2 A e^{i \omega t + \phi} = – \omega^2 f(t)[/latex]

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *