En flaska kan betraktas som ett massa-plus-fjäder-system, där den tröga massan utgörs av luften i flaskhalsen och där trycket i flaskans volym fungerar som en pneumatisk fjäder.
Massan som oscillerar i flaskhalsen är
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]m= \varrho LA,[/latex]
där rho är luftens densitet, L är halsens längd och A är dess tvärsnittsarea. Om denna massa har en utvikelse u, minskar kavitetens volym med ΔV = uA. Trycket går då upp med Δp och den återställande kraften på luftmassan i halsen är Δp A.
En subtilitet är produkt av tryck och volym inte är konstant i det här fallet. En gas som komprimeras blir varmare – det är det som tänder bränslet i en dieselmotor. Kompressionen här går så snabbt att inget värmeutbyte med omgivningen kan ske (“adiabatisk”). Den högre temeperaturen ger ett högre tryck än vid isoterm kompression. Så man får
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]\dfrac{\Delta p}{p} = \gamma \ \dfrac{\Delta V}{V},[/latex]
där p är det atmosfäriska trycket och där gamma är ett tal som är 1,4 för luft.
Fjäderkonstanten blir härmed:
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]k= \dfrac{\gamma A^2p}{V}.[/latex]
Systemets svängningsfrekvens ges av:
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m} } = \sqrt{ \dfrac{\gamma A p}{\varrho V L} }.[/latex]
Man kan förenkla uttrycket om man vet att ljudhastigheten i luft ges av:
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]v = \sqrt{\dfrac{\gamma \ p}{\varrho}}.[/latex]
Så kommer man fram till ett smidigare uttryck för resonansfrekvensen:
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]f = \dfrac{\omega}{2 \pi} = \dfrac{v}{2 \pi} \ \sqrt{\dfrac{A}{V L}}.[/latex]
Uttrycket ger något för höga frekvenser. Orsaken är att modellen är starkt idealiserad. I verkligheten finns det ingen skillnad mellan luften straks utanför och straks innanför halsen. När luften i halsen rör sig fram och tillbaka, rör sig luften straks utanför med. Trögheten är alltså större än i vår enkla modell. Man kan beakta det med en effektiv längd som är något större än L. Ett tillägg med 0,5 eller 0,7 gånger öppningens diametern ger bra överenstämmelse med experiment. Det fungerar även när öppningarna i kaviteten har längd noll, som till exempel den akustiska gitarrens klanglåda.
Leave a Reply