Carmelo frågade (tror jag) att visa att sinusfunktionen är en lösning av differentialekvationen för en massa på en fjäder. Eftersom det tydligen inte funkar med TeX i kommentarerna, skriver jag det här inlägget.
Skriv ner funktionen:
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]x(t) = A \sin(\omega t + \phi). [/latex]
Ta derivatan med hänseende till tid:
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]\dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = \omega A \cos(\omega t + \phi).[/latex]
Gör det en gång till:
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]\dfrac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2} = -\omega^2 A \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t).[/latex]
Det är den allmänna lösningen av differentialekvationen av en harmonisk oscillator där den återställande kraften är proportionell mot utvikelsen enligt Hookes lag. Utvikelsen är alltså proportionell mot acceleration, som är dess andra derivata, med motsatt tecken:
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]m\dfrac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2} = -kx.[/latex]
Det stämmer när
[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]\omega^2 = \dfrac{k}{m}.[/latex]
Jeg synes det vil være interessant at få forklaret hvorfor Hooke’s lov er så vigtig for elasiticitet og dermed for oscilliations:
Wikipedia har følgende at sige om det:
“In mechanics and physics, Hooke’s law of elasticity is an approximation that states that the extension of a spring is in direct proportion with the load applied to it. Many materials obey this law as long as the load does not exceed the material’s elastic limit. Materials for which Hooke’s law is a useful approximation are known as linear-elastic or “Hookean” materials.”
Hvad er det for nogle krafter der er i spil? Er det elektriske krafter i form a dipole molekyler? Men det er måske først i materialefysik at vi kommer ind på det?
Tack, men det jag frågade efter var om du kunde visa att själva formeln x(t) = A*sin(wt+φ) är korrekt. Jag har läst om den i benson nu så, jag förstod det ungefär. Men jag blev förvånad att du plötsligt lade fram formeln utan att ha visat att den stämmer först.
Jag föredrar att få en förklaring till varför en formel är korrekt innan jag använder den.
Jag vill förstå vad jag sysslar med!