Vågrörelselära och optik

Det finns olika sätt att härleda ett uttryck för hastighet av transversella vågor på en sträng. En snabb dimensionsanalys ger redan att den går som roten av spänningen i snöret delad med massa per längdenhet:

[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]v \propto \sqrt{\dfrac{T}{\varrho}}.[/latex]

Men för att bestämma proportionalitetskonstanten behövs en härledning där man bestämmer förhållandet mellan återställande kraft och acceleration kvantitativt. Det går med Taits geometriska resonemang, eller man kan härleda vågekvationen. Då krävs det lite grundläggande flerdimensionell analys.

Figuren visar en längdelement Δx av en sträng med en spänning T. Utslaget y är en funktion av båda rymd och tid: y = y(x,t). Vi antar att den mekaniska spänningen inte beror på utslag och att spänningen till höger är lika med spänningen till vånster. Kraftens riktning är överallt parallell mot strängen och dess vinkelräta komponent är proportionell mot sinus av strängens lutning som ges av utslagets partiella derivata mot x om vinklarna α och β är små :

[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]T_{1,\perp} \approx – T \tan \alpha = -T \ \dfrac{\partial y}{\partial x} \Big |_x; \ T_{2,\perp} \approx T \tan \beta = T \ \dfrac{\partial y}{\partial x} \Big |_{x+\Delta x}.[/latex]

Man kan definiera en funktion

[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]f(x) = \dfrac{\partial y}{\partial x}.[/latex]

Den kan approximeras med en Taylorutveckling:

[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta x \dfrac{df}{dx} \Big |_x + \dfrac{1}{2} (\Delta x)^2 \dfrac{d^2f}{dx^2} \Big |_x + \dots \ .[/latex]

Om Δx är liten, kan kvadratiska och högre termer försummas. Då blir den totala kraften på längdelementet

[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]T(f(x + \Delta x) – f(x)) = T \Delta x \dfrac{df}{dx} \Big |_x = T \Delta x \ \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right) = T \Delta x \dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2} .[/latex]

Enligt F=ma är det lika med längdelementets acceleration, som ges av den andra partiella derivatan av utslaget till tid. Längdelementets massan är like med dess längd Δx multiplicerad med dess massa per längdenhet rho. Efter division med Δx får man så vågekvationen:

[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]T \ \dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \varrho \ \dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2} .[/latex]

Denna linjära differentialekvation har lösningar som är funktioner av x±vt där v är fashastigheten (hastigheten av punkter med samma fas, till exempel toppernas hastighet). Genom att ta andra partiella derivatorna till position och tid ser man att

[latex size=”2″ color=”000000″ background=”ffffff”]v = \sqrt {\dfrac{T}{\varrho} } .[/latex]